الجديد

نظرية المجموعات

نظرية المجموعات

نظرية المجموعات هي مفهوم أساسي في كل الرياضيات. هذا الفرع من الرياضيات يشكل الأساس لمواضيع أخرى.

مجموعة الحدس هي مجموعة من الكائنات ، والتي تسمى العناصر. على الرغم من أن هذا يبدو فكرة بسيطة ، إلا أن له بعض التبعات بعيدة المدى.

عناصر

لا يمكن أن تكون عناصر المجموعة حقًا أي شيء - الأرقام أو الولايات أو السيارات أو الأشخاص أو حتى المجموعات الأخرى كلها إمكانيات للعناصر. يمكن استخدام أي شيء يمكن جمعه معًا لتشكيل مجموعة ، على الرغم من أن هناك بعض الأشياء التي نحتاج إلى توخي الحذر بشأنها.

مجموعات متساوية

عناصر المجموعة إما في مجموعة أو في مجموعة. قد نصف مجموعة بواسطة خاصية محددة ، أو قد ندرج العناصر في المجموعة. ترتيب أن يتم سردها ليست مهمة. إذن المجموعات {1 ، 2 ، 3} و {1 ، 3 ، 2} هي مجموعات متساوية ، لأن كلاهما يحتوي على نفس العناصر.

مجموعتان خاصتان

مجموعتان تستحق الذكر بشكل خاص. الأول هو مجموعة عالمية ، وعادة ما يشار إليها U. هذه المجموعة هي كل العناصر التي قد نختار منها. قد تكون هذه المجموعة مختلفة من إعداد إلى آخر. على سبيل المثال ، قد تكون مجموعة عالمية واحدة هي مجموعة الأرقام الحقيقية ، أما بالنسبة لمشكلة أخرى فقد تكون المجموعة الشاملة هي الأعداد الصحيحة {0 ، 1 ، 2 ، ...}.

المجموعة الأخرى التي تتطلب بعض الاهتمام تسمى المجموعة الفارغة. المجموعة الفارغة هي المجموعة الفريدة هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر. يمكننا كتابة هذا كـ {} والإشارة إلى هذه المجموعة بالرمز ∅.

مجموعات فرعية ومجموعة الطاقة

مجموعة من بعض عناصر المجموعة ا يسمى مجموعة فرعية من ا. نحن نقول ذلك ا هي مجموعة فرعية من ب إذا وفقط إذا كان كل عنصر من عناصر ا هو أيضا عنصر من ب. إذا كان هناك عدد محدود ن من العناصر في مجموعة ، ثم هناك ما مجموعه 2ن مجموعات فرعية من ا. هذه المجموعة من جميع مجموعات فرعية من ا هي مجموعة تسمى مجموعة الطاقة من ا.

ضبط العمليات

تمامًا كما يمكننا تنفيذ عمليات مثل الإضافة - على رقمين للحصول على رقم جديد ، تُستخدم عمليات نظرية المجموعة لتكوين مجموعة من مجموعتين أخريين. هناك عدد من العمليات ، ولكن كلها تتكون من العمليات الثلاث التالية:

  • الاتحاد - الاتحاد يعني الجمع. اتحاد المجموعات ا و ب يتكون من العناصر الموجودة في أي منهما ا أو ب.
  • التقاطع - التقاطع هو مكان التقاء شيئين. تقاطع المجموعات ا و ب يتكون من العناصر التي في كليهما ا و ب.
  • تكملة - تكملة للمجموعة ا يتكون من جميع العناصر في المجموعة العالمية التي ليست عناصر ا.

الرسوم البيانية فين

أداة واحدة مفيدة في تصوير العلاقة بين مجموعات مختلفة تسمى مخطط فين. يمثل المستطيل المجموعة العالمية لمشكلتنا. يتم تمثيل كل مجموعة مع دائرة. إذا تداخلت الدوائر مع بعضها البعض ، فإن هذا يوضح تقاطع مجموعتنا.

تطبيقات نظرية المجموعات

مجموعة نظرية تستخدم في جميع أنحاء الرياضيات. يتم استخدامه كأساس للعديد من الحقول الفرعية للرياضيات. في المجالات المتعلقة بالإحصاءات ، يتم استخدامه بشكل خاص في الاحتمال. الكثير من المفاهيم في الاحتمال مستمدة من عواقب نظرية المجموعة. في الواقع ، تتضمن إحدى طرق تحديد البديهيات الاحتمالية نظرية المجموعات.